矩阵多项式
对于矩阵\(A\)，我们假设有关于矩阵\(A\)的\(n\)次多项式 \(f(A) = c_nA^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+c_0E\)
那么假设我们知道\(A\)的特征值\(\lambda_1,\lambda_2, \cdots, \lambda_n\)
那么\(f(A)\)的特征值会是什么呢？
如果\(\lambda_1\)是\(f(A)\)的一个特征值，\(\alpha\)为对应的特征向量,那么： \[f(A)\alpha = c_n\lambda_i^n\alpha+c_{n-1}\lambda_i^{n-1}\alpha+\cdots+c_1\lambda_i\alpha+c_0\alpha = f(\lambda_i)\] 故\(f(\lambda_i)\)是\(f(A)\)的一个特征值，\(\alpha\)是\(f(\lambda_i)\)的特征向量
余子式 和 代数余子式的区别
余子式记为\(M_{ij}\), 而代数余子式是\(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\)，只有符号上的区别。 注意，伴随矩阵\(A^*\)是用代数余子式定义的。
与秩有关的不等式
\[r(AB) \le \min{(r(A), r(B))}\] \[r(A+B) \le r(A) + r(B)\] \[r(A,B) \le r(A) + r(B)\] \[r(AA^T) = r(A^TA) = r(A)\]
若\(A,B\)为\(n\) x \(n\)的矩阵,\(AB=O\)，则 \[r(A)+r(B) \le n\]
\(A^*\)为\(A\)的伴随矩阵，则： \[r(A^*) = n, r(A) = n\] \[r(A^*) = 1, r(A) = n-1\] \[r(A^*) = 0, r(A) < n - 1\]
对于分块矩阵，我们有：
\[ r\left( \begin{array}{l} A & O \\ O & B \end{array} \right) = r(A) + r(B) \]
\[ r\left( \begin{array}{l} A & C \\ O & B \end{array} \right) \ge r(A) + r(B) \]
\(Sylvester\)不等式, \(A\)为\(s\) x \(n\), \(B\)为\(n\) x \(m\)： \[r(AB) \ge r(A)+r(B)-n\]
若\(A^2=A\)，if and only if: \[r(A)+r(I-A) = n\]